Kaarileikkaus modernilla algebralla

TEKSTI: MAURI VÄISÄNEN
Matematiikassa ­erityisesti kommutatiivisen ­algebran kehitys antaa uusia ­mahdollisuuksia lähestyä maanmittauksen ­ongelmia. Ohjelmistoihin tulleet ­työkalut helpottavat laskentaa ­oleellisesti ja ennen kaikkea ’vanhoihinkin’ ongelmiin ­saadaan uusi ratkaisutapa.

Tässä kirjoituksessa käsitellään kaarileikkausta, mutta algebrallisia laskentamenetelmiä voidaan käyttää vaativimpiinkin geometrisiin ongelmiin.

Motivaatio tähän kirjoitukseen tuli siitä, että näitä algebrallisia menetelmiä voi käyttää yhtä hyvin niin kaksiulotteisen kuin usempiulotteisienkin avaruuksien tehtävien ratkaisuissa. Onhan esimerkiksi GPS-vastaanottimella saatu paikka neljän (periaatteessa kolmen) pseudoetäisyyden leikkauspisteessä satelliiteista. Tällöin ratkaisu on neljän etäisyysfunktion leikkauspisteessä. Nyt kun laseretäisyysmittareiden hinnat ovat halvenneet, niin voidaan näitä etäisyysmittareita käyttää tarkassa sijainnin määrittämisessä.

Esimerkiksi laseretäisyysmittarilla pystytään saamaan paikan koordinaatit varsin helposti mittaamalla matkoja tunnettuihin pisteisiin. Silloin määritetään pisteen koordinaatit käyttämällä kaarileikkausta, taaksepäinleikkausta tai eteenpäinleikkausta; tietysti tehtävän geometria huomioon ottaen. Ylipäätään olkoonpa kysymyksessä mikä tahansa epälineaarinen yhtälö tai yhtälöryhmä, niin tulos saadaan ilman mitään alkuarvoa ja iterointia (mikäli ratkaisu on olemassa); tämä tekee Gröbner-kannan avulla saadusta ratkaisusta mielenkiintoisen.

Geodesiassa ja geoinformatiikassa havainnot kuvataan usein epälineaarisilla yhtälöillä, joiden tuntemattomat parametrit ratkaistaan. Erityisesti pyritään siihen, että havainnoissa on riittävästi ylimääritystä ja sitten tasoituslaskennan avulla ratkaistaan parametrien todennäköisimmät arvot. Koska funktiot ovat epälineaarisia, pitää antaa alkuarvo ja aloittaa funktion linearisointi, minkä jälkeen alkuarvoa sitten lähdetään tarkentamaan seuraavilla iterointikierroksilla. Lineaaristen yhtälöiden tapauksessa on helppo antaa alkuarvoksi 0, mutta epälineaaristen tapausten kohdalla menettely on hankalampi. Aina lähtöarvo tai ’arvaus’ ei mene tarpeeksi lähelle ja iteraatio ei suppene vaan hajaantuu, jolloin tietysti ratkaisua ei saada.

Lue koko artikkeli PDF-muodossa:

mauriv Author

Vastaa